ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ Δ ΘΕΜΑΤΟΣ ΤΟΥ 2013(ΠΗΓΗ ΥΛΙΚΟΝΕΤ)

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ Δ ΘΕΜΑΤΟΣ ΤΟΥ 2013

Από ομογενή κύλινδρο μάζας Μ= 8 Κg ακτίναςR=0,2 m και μήκους L αφαιρούμε λιπαίνουμε και επανατοποθετούμε στην αρχική του θέση κύλινδρο ακτίνας R/2 που έχει κέντρο το κέντρο του αρχικού κυλίνδρου.Το «τρανξέξουαλ» στερεό (όπως χαρακτηρίστηκε σε σχόλιο του ylikonet.gr) τοποθετείται πάνω σε με μη λείο οριζόντιο επίπεδο και δένεται κατάλληλα με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ= 47Ν/m όπως στο παρακάτω σχήμα.

Εκτρέπουμε το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του έτσι ώστε το ελατήριο να επιμηκυνθεί κατά x_o=0,2  m και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Παρατηρούμε ότι το χαμηλότερο σημείο του στερεού έχει συνεχώς ταχύτητα 0 ενώ το  οριζόντιο ελατήριο είναι κατάλληλα προσαρμοσμένο στο κέντρο του στερεού.

A) Nα γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης του κέντρου μάζας του στερεού σε συνάρτηση με το χρόνο αν θετική φορά θεωρηθεί η φορά της αρχικής απομάκρυνσης.

Β) Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής τριβής ανάμεσα στο στερεό και στο δάπεδο  για το οποίο μπορεί το πραγματοποιηθεί το παραπάνω πείραμα.

Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κινητικής ενέργειας του στερεού σα συνάρτηση του χρόνου και να γίνει η γραφική της παράσταση.

Ι_cm=0,5MR².

)

Ελάχιστη δύναμη και ενέργεια για ν’ ανέβει ο κύλινδρος το σκαλοπάτι..(ΠΗΓΗ ΥΛΙΚΟΝΕΤ)

Κύλινδρος συμπαγής μάζας  M=100kg ,ακτίνας R=0,5m και ροπής αδράνειας Ιcm= ½ ΜR2  πρόκειται να ανεβεί σε σκαλοπάτι ύψους  h=0,2m .

Δίνεται g=10m/s2. Η τριβή με την κόχη του σκαλοπατιού είναι αρκετή, ώστε να μην έχουμε ολίσθηση .

1. Ποια η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να δαπανήσουμε για να τον ανεβάσουμε .

2. Πόση είναι η ελάχιστη σταθερή, εφαπτομενική στον κύλινδρο, δύναμη, που πρέπει να ασκήσουμε με το κάθε χέρι μας, και σε ποια σημεία του κυλίνδρου, για να τον ανεβάσουμε.

3. Ποια η ελάχιστη γωνία στροφής ,που πρέπει να ασκήσουμε τις δυνάμεις με τα χέρια μας , ώστε ο κύλινδρος να ανεβεί με μηδενική κινητική ενέργεια.

4. Ποιος ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κατά την άνοδο και σε ποια θέση συμβαίνει αυτό.

5. Αν επαναλάβουμε ,ασκώντας τις δυνάμεις των χεριών μας μέχρι ν’ ανεβεί ο κύλινδρος και μετά πάψουμε να την ασκούμε, ποια η κινητική ενέργεια τη στιγμή που έχει ανεβεί.

6. Αμέσως μετά τη στιγμή που ανέβηκε ο κύλινδρος, ασκούμε με τις παλάμες μας πιέζοντας , ίσες δυνάμεις κατακόρυφες, στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου, και ο κύλινδρος σταματά μετά από 3m, κυλιόμενος.  Τα χέρια μας ολισθαίνουνε πάνω στον κύλινδρο, μέχρι αυτός να σταματήσει.

α) Σε πόσο χρόνο σταματά 

β) αν ο συντελεστής τριβής των χεριών μας με τον κύλινδρο είναι μ=0,8 , πόση είναι η κάθετη δύναμη που ασκούμε με κάθε χέρι μας, μέχρι να σταματήσει.                     

Δίνονται  συν37^ο=0,8 ,    ημ 37^ο=0,6  συν14,3^ο=συν0,25rad=0,969,  

συν51,3^ο=0,625   ,ημ51,3^ο=0,78     51,3^o=0,895rad ,   37^o=0,645rad

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΗΓΗ ΥΛΙΚΟΝΕΤ

Διαθέτουμε ένα στερεό Σ (ένα καρούλι), αποτελούμενο από δυο δίσκους οι οποίοι συνδέονται με κύλινδρο, γύρω από τον οποίο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Η μάζα του Σ είναι Μ=20kg και η εξωτερική του ακτίνα R=0,4m. Τοποθετούμε το στερεό Σ λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε στο κέντρο μάζας του Ο μια σταθερή οριζόντια  δύναμη F₁=20Ν, ενώ ταυτόχρονα τραβάμε το άκρο Α του νήματος ασκώντας διαρκώς μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F₂=16Ν, όπως στο σχήμα.

Μετά από λίγο ο άξονας του στερεού (που διέρχεται από το κέντρο Ο) έχει μετατοπισθεί κατά x=2m, ενώ έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,25m. Για την θέση αυτή ζητούνται:

i) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού Σ.

ii) Η γωνιακή του ταχύτητα.

iii) Η ταχύτητα ενός σημείου Β, επαφής του στερεού με το έδαφος.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του στερεού γύρω από τον άξονα περιστροφής του Ι= 0,4ΜR².

Απάντηση:

ΤΟ ΜΗΧΑΝΟΥΡΓΕΙΟ ΤΟΥ YLIKONET

Στερεώνουμε μία λεπτή και άκαμπτη  ΑΓ ράβδο μάζας Μ = 6 kg και μήκους ℓ = 1 m  με μπουλόνι και παξιμάδι στο ένα της άκρο  Α έτσι ώστε να ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Στο άλλο της άκρο της ράβδου  Γ με τη βοήθεια δεύτερου οριζόντιου άξονα υπάρχει τροχαλία μάζας Μ₂ = 2 kg και ακτίνας R = 0,2 mόπου γύρω της έχουμε τυλίξει αβαρές σκοινί και στο άκρο του οποίου κρατάμε σώμα M₃ = 4 kgόπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Την χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σώμα μάζας Μ₃ελεύθερο να κινηθεί με την επίδραση του βάρους του. Το σκοινί ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Γ της οριζόντιας ράβδου και το κέντρο της τροχαλίας. Η τροχαλία είναι λεία στη εσωτερική της πλευρά και δεν υπάρχουν τριβές ανάμεσα στην ράβδο και της  τροχαλία.

Την χρονική στιγμή t₁ = 1 s κόβουμε το νήμα και ταυτόχρονα ξεσφίγγουμε το μπουλόνι στο άκρο Α ώστε η ράβδος να μπορεί πλέον να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον  δεύτερο οριζόντιο άξονα.

Να βρεθούν:

α. Το μέτρο της στροφορμής, της τροχαλίας γύρω από τον οριζόντιο άξονα Γ μετά το κόψιμο του νήματος.

β. Η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος ράβδος τροχαλία.

γ. Η συνολική στροφορμή του συστήματος γύρω από το άκρο Α όταν το σύστημα έχει την μέγιστη κινητική του ενέργεια.
ΠΗΓΗ ΥΛΙΚΟΝΕΤ

Η ράβδος, ο άξονας και το ζεύγος δυνάμεων. (ΠΗΓΗ ΥΛΙΚΟΝΕΤ)

Η ράβδος, ο άξονας και το ζεύγος δυνάμεων.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=4m και μάζας Μ=10kg, η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από ένα σημείο της Ο, όπου (ΟΒ)=1m. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούνται πάνω της δυο δυνάμεις F₁ και F₂, σταθερού μέτρου F₁=F₂= 10π Ν οι οποίες είναι διαρκώς κάθετες στη ράβδο, όπου η πρώτη ασκείται στο άκρο της Α, ενώ η δεύτερη σε σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m, όπως στο σχήμα (δεξιά σε κάτοψη).

i)  Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει η ράβδος.

ii) Κατά ποια γωνία έχει περιστραφεί η ράβδος και ποια η γωνιακή της ταχύτητα τη χρονική στιγμή  t₁=√14 s≈ 3,7s.

iii) Ποια δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) ασκεί στη ράβδο ο άξονας z τη στιγμή t₁;

iv) Τη στιγμή t₁ ο άξονας σπάει και η ράβδος μπορεί πλέον να κινείται ελεύθερα. Να βρεθεί η θέση της και η γωνιακή της ταχύτητα τη χρονική στιγμή t₂=5,7s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ,
 Ι= Μℓ²/12.

Ο ΤΡΟΧΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΤΥΛΙΓΜΕΝΟ ΝΗΜΑ

Ο τροχός και το τυλιγμένο νήμα.

Ο τροχός του σχήματος, μάζας 20kg και ακτίνας R=0,4m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές με μη  εκτατό νήμα, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο σε τέτοια θέση, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο.

Σε μια στιγμή t₀=0, ασκούμε στο κέντρο του τροχού μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=12Ν.

i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού καθώς και η γωνιακή του επιτάχυνση.

ii)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σημείων επαφής του τροχού με το έδαφος (στην εικόνα του σημείου Α) τη χρονική στιγμή t₁=2s.

iii) Αν το επίπεδο δεν ήταν λείο, αλλά ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ τροχού και εδάφους ήταν μ=0,2, να βρεθεί η τάση του νήματος μετά την εξάσκηση της δύναμης F.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του που περνά από το Ο Ι_cm= ½ ΜR² και g=10m/s².

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

Γεωμετρία Β Γυμνασίου Εκπαιδευτήρια Καίσαρη by Xristos Demirtzoglou